OPERACIONES CON CONJUNTOS

Operación Unión:
Consiste en reunir en un solo conjunto todos los elementos de dos o más conjuntos, el símbolo de la operación es : u

Operación Intersección: Es formar un nuevo conjunto con los elementos comunes de los conjuntos dados, el símbolo de la operación intersección es: n

Operación diferencia: 
El símbolo d esta operación es : -
Dados los conjuntos A y B se llama diferencia de A menos B a un nuevo conjunto formado con los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B.

Operación diferencia Simétrica:
Dados los conjuntos A y B, la diferencia simétrica de A con B es un nuevo conjunto formado con los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B o elementos que pertenecen a B y que no pertenecen a A. 

Complemento de Conjuntos
Sea U el conjunto Referencial o Universal y A un conjunto particular contenido en este referencial, llamamos complemento de A al conjunto formado por los elementos que le faltan al conjunto A para ser igual al conjunto universo U. 

TEORÍA DE CONJUNTOS

Conjunto: Es una colección de objetos bien definidos por medio de alguna o algunas propiedades en común.

FORMAS  DE REPRESENTAR CONJUNTOS 
1) Forma tabular, enumerativa o extensiva: Escribimos dentro de llaves una lista de los elementos que lo conforman.

2) Forma descriptiva: Escribimos una variable para representar a los elementos del conjunto, luego, la proposición abierta común que los identifica. 

3) Forma gráfica : Dibujamos una figura cerrada como un círculo, un cuadrado, un triángulo u otra y colocamos adentro de ella los elementos del conjunto. (Estas figuras se llaman diagramas de Venn).

Conjunto Universo o Referencial.

Es aquel que contiene a todos los elementos que estamos estudiando. Se nombre con la letra U. 

CONECTIVOS LÓGICOS

Conectivos Lógicos 

Son utilizados para la unión de dos o más proposiciones simples para generar proposiciones compuestas. 

Conjunción: La tabla que define esta operación establece que la conjunción es verdadera únicamente cuando p y q son verdaderas. 

Disyunción: La proposición disyuntiva o disyunción , p v q, es falsa únicamente cuando las proposiciones simples son falsas. 

Condicional o implicación: La proposición p  se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la condicional o implicación. La tabla nos muestra que la implicación solo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. 

Bicondicional o doble implicación: Sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. 

LEYES DE MORGAN 

Las leyes de Morgan son una parte de la lógica proposicional y analítica, creada por Augustus de Morgan.

Son muy útiles cuando se quieren encontrar equivalentes para proposiciones que se optienen por negación de proposiciones compuestas. 

"La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones"

"La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones"

PROPOSICIONES Y VALORES DE VERDAD

Proposiciones y Valores de Verdad

Proposición: Es el significado de un enunciado al que se le puede asignar un valor de verdad que puede ser; verdadero(v) o falso (f).

EJEMPLO: 

P: La Universidad Rafael Landívar está en la zona 16           valor de verdad (V)

S: Un quetzal es equivalente a 50 centavos                             valor de verdad (F)

Expresiones no proposicionales : Son aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad. "exclamativos, interrogativos, imperativos y opiniones".
EJEMPLO:
-¿Cómo te llamas?

-¡Salvemos el planeta!
Una proposición abierta: Es un enunciado que da información que no se puede calificar como verdadera o falsa porque el sujeto no está especificado, por lo tanto, no tiene valor de verdad.
EJEMPLO:

-Él nació en la Ciudad de Guatemala

Clasificación de las proposiciones

Proposición Simple: Son aquellas a las que se les puede representar por una sola variable. Es un enunciado que da solamente una información verdadera o falsa.

Proposición Compuesta: Es llamada así cuando una proposición consta de dos o más enunciados simples. 

EJEMPLO:      Zacapa es departamento de Guatemala y pertenece a Centroamérica.

                                                     

Negación: Es el valor opuesto a un valor de verdad

EJEMPLO: 

p: El Kilómetro tiene 100 metros.

-p: El Kilómetro no tiene 100 metros. 

                         

INTERPRETACIÓN DE INFORMACIÓN

Lectura e Interpretación de Gráficas

Las gráficas son representaciones abstractas de relaciones entre dos o más variables, también resumen y organizan la información.

"PERMITEN ESTABLECER PATRONES Y TRANSMITIR IDEAS DE MODO MÁS SENCILLO"

GRÁFICAS CIRCULARES: Se utilizan para mostrar porcentajes y proporciones. 

GRÁFICA DE BARRAS: Se emplean para ilustrar muestras agrupadas en intervalos. Está formada por rectángulos unidos a otros.

PICTOGRAMA: Utiliza imágenes o símbolos para mostrar datos para una rápidas visualización y comprensión. 

GRÁFICA RADIALES: Comparan los valores agregados de varias series de datos y muestran cambios de valores con relación a un punto central. 

Ecuación de primer grado

Ecuación de primer grado

Ecuación: Es un enunciado que establece que dos expresiones son iguales.

EJEMPLO: Exprese el siguiente enunciado verbal en expresión de forma simbólica:

cuatro veces un número aumentado en siete unidades es igual a diecinueve. 

Sea x= el número.

Entonces                   4x+7=19       es la solución.

Los valores de x que hacen que la ecuación sea verdadera se llaman soluciones o raíces y el proceso de determinar estas se conoce como resolución de la ecuación.

Para resolver una ecuación debes ir paso a paso despejando hasta encontrar el valor de la variable.

ESTRATEGIA: PROPORCIONALIDAD O PORCENTAJES

ESTRATEGIA: PROPORCIONALIDAD O PORCENTAJES

RAZÓN: Es el resultado de comparar dos cantidades.

x:y (se lee x es a y) donde x le llamaremos antecedente, y a y consecuente.

UNA RAZÓN ES EL COCIENTE DE DOS CANTIDADES.

PROPORCIÓN: Es la igualdad de dos razones. 

a:b::c:d  Que se lee a es a b como c es a d.

PORCENTAJE: Es una razón en la cual el consecuente es 100.

PARA PODER RESOLVER PROBLEMAS SOBRE PROPORCIONALIDAD O PORCENTAJES PUEDE SER MUY ÚTIL UTILIZAR UNA REGLA ES 3, (EN ESTA CONOCEMOS 3 DATOS Y DESCONOCEMOS 1 QUE ES EL QUE DESEAMOS ENCONTRAR) SOLAMENTE DEBES FIJARTE DE COLOCAR CORRECTAMENTE LOS DATOS CON LOS QUE CUENTAS PARA PODER TRABAJAR. 

ESTRATEGIA: RESOLVER UN PROBLEMA EQUIVALENTE

ESTRATEGIA: RESOLVER UN PROBLEMA EQUIVALENTE

Muchas veces cuando nos es complicado la resolución de un problema, un método que nos puede ayudar es compararlo con un problema parecido, de manera que asociando podremos abrir más nuestra mente e implementar las estrategias que utilizamos anteriormente para su resolución.

"Consiste en comparar el problema con otro parecido"

Ejemplo:

Recorrer en forma continua los 9 puntos de la siguiente figura, sin omitir ni repetir ninguno, utilizando únicamente 4 rectas.

Comprender el problema: lograr unir los 9 puntos de la figura, pero tomando en cuenta que no se puede repetir ninguno y se deben de trazar únicamente 4 rectas para poder unir todos los puntos.

Formular un plan: estrategia a utilizar resolver un problema equivalente.

Llevar a cabo el plan:

HACER UN DIAGRAMA O FIGURA

ESTRATEGIA: HACER UN DIAGRAMA O FIGURA

En esta estrategia es bastante útil dibujar un diagrama o esquema, e identificar en ellos datos e incógnitas del problema .

Nos servimos de las figuras para colocar datos en ella y de esta manera visualizar lo que el problema pide.

Ejemplo de diagrama y figura.

El uso principal de los diagramas o figuras es facilitarnos la resolución de problemas, de manera que podamos servirnos de ellos para organizar la información.

PUEDES VISITAR ESTE LINK PARA AMPLIAR LA INFORMACIÓN SOBRE EL USO DE DIAGRAMAS O FIGURAS  https://educacionadistancia.juntadeandalucia.es/profesorado/autoformacion/mod/book/view.php?id=4064&chapterid=3339

TRABAJAR HACIA ATRÁS

ESTRATEGIA: TRABAJAR HACIA ATRÁS

Consiste en partir del dato final, ir pensando hacia atrás, paso a paso hasta llegar a los datos originales.

2. Inicio←←←←←←←←←←←←←←←←←←← 1. Final

Cuando se trabaja hacia atrás debes tomar en cuenta el inverso de las operaciones.

Ej.  En dado problema dice "gasta" suponemos que se realiza una operación de "resta" pero cómo se debe trabajar el inverso debes operar una "suma". 

+ → -                Suma pasa a resta

/ → * División pasa a multiplicación

2ª → ؆            Exponente pasa a raíz

⤖"La clave está en el inverso"

Ejemplo

Don Pedro maneja un bus desde Villarrica a Cnel. Oviedo, pero no puede recordar cuántas personas comenzaron el viaje desde la terminal de Villarrica.

Hurgando en su memoria llega a la siguiente conclusión:

En la primera parada se subieron 4 personas y se bajaron 3.

En la segunda parada se bajó una señora y se subieron 5 señoritas y 3 niños.

Al llegar a Cnel. Oviedo contó que llegaron 15 personas en total.

¿Cuántas personas salieron desde la terminal de Villarrica?

Este problema lo resolveremos de atrás hacia adelante, ya que conocemos la cantidad total de personas que llegaron a la última parada del bus.

Armamos una tabla para organizar más fácilmente la información.

Para comprobar el resultado que obtuvimos, calculamos en sentido contrario leyendo nuevamente el problema.

Suben en Villarrica: 10 pasajeros

En la primera parada: 10 + 4 - 3 = 11 pasajeros

En la segunda parada: 11 – 1 + 5 = 15 pasajeros

Llegaron a Cnel. Oviedo: 15 personas

ESTRATEGIA: UTILIZACION DE UN CUADRO O UNA LISTA

Se utilizan cuadros o listas para poder visualizar de manera ordenada los datos con que se cuenta para la resolución de un problema.

¿Importancia de utilizar cuadro o lista?

Te ayuda principalmente a organizar tus datos.

"Se debe interpretar la tabla para llegar a una conclusión"

Ejemplo

Josie decide comenzar a practicar el trote (jogging). Durante la primera semana, ella trota 10 minutos cada día; en la segunda semana, trota 12 minutos cada día. Cada semana, ella quiere incrementar su tiempo de trote diario en 2 minutos. Si ella trota 6 días cada semana, ¿Cuál será el tiempo total de trote durante la sexta semana?

Solución

Paso 1 : Entender

Sabemos que durante la primera semana Josie trota 10 minutos cada dia, durante 6 días.

Sabemos que durante la segunda semana Josie trota 12 minutos cada día, durante 6 días.

Cada semana, ella incrementa en 2 minutos su tiempo de trote diario. Además, ella siempre practica el trote 6 veces a la semana.

Queremos conocer el tiempo total de trote en la sexta semana.

Paso 2 : Estrategia

Una buena estrategia es hacer colocar los datos que nos proporciona el enunciado del problema en un tabla. Luego debemos usar la información proporcionada para encontrar nueva información. Podemos hacer la tabla con los siguientes encabezados.

El enunciado del problema nos dice que Josie trota 10 minutos al día, por 6 días durante la primera semana. También nos dice que ella trota 12 minutos al día, por 6 días en la segunda semana. Podemos entonces añadir toda esta información en nuestra tabla:

El enunciado del problema te indica que, cada semana, Josie incrementa su tiempo diario de trote en 2 minutos cada semana y que trota 6 veces por semana. Puedes utilizar esta información para completar la table hasta llegar a la sexta semana.

Paso 3 :Aplicar estrategia/Resolver

Para obtener la respuesta leemos la cantidad de minutos por semana correspondientes a la sexta semana.

Respuesta En la sexta semana, Josie trota un total de 120 minutos.

Paso 4 : Comprobar

Josie incrementa su tiempo de trote diario en 2 minutos cada semana. Ella trota seis días por semana.

Esto significa que, cada semana, ella incrementa su tiempo de trote en 12 minutos cada semana.

En otras palabras, Josie comienza con 60 minutos por semana y luego ella incrementa su tiempo de trote en 12 minutos por semana, durante 5 semanas.

Esto significa que el tiempo total de trote para la sexta semana 

=60+12×5=120

 minutos

ESTRATEGIA: BUSCAR UN PATRON

clase#3

¿Qué es un patrón?  Es una sucesión d elementos que se construye siguiendo una regla , esa regla puede ser de repetición o de recurrencia. 

El patrón puede ser numérico o Algebraico. Si se distingue alguna regularidad o repetición, se obtendrá la solución al problema.

→Karl F. Gauss

“J. B. Büttner, maestro de un colegio alemán, castigó a todos los niños a sumar los 100 primeros números naturales para tenerlos entretenidos y callados un buen rato. Carl Friedrich Gauss obtuvo la respuesta casi de inmediato: 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 = 5050.” 



El trabajo con patrones ayudan al desarrollo del pensamiento divergente, la coordinación visual y motora y el pensamiento inductivo-deductivo.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (POLYA)

Clase#2

Resolución de problemas

¿Qué es un problema? 

Situación nueva que requiere la aplicación de alguna estrategia para su solución.

"Para entender una teoría se debe conocer cómo fue descubierta"

George Polya

El método de cuatro pasos de Polya

1. Comprender el problema: El problema debe ser leído y analizado cuidadosamente. 

2. Formular un Plan:  Se puede utilizar una variedad de estrategias para resolver un problema. 

• Ensayo y Error (Se prueba una opción y se observa si funciona)
• Buscar un Patrón
• Hacer un cuadro o lista
• Resolver un problema similar más sencillo
• Hacer una figura o un diagrama
• Resolver un problema equivalente
• Trabajar hacia atrás 
• Resolver una ecuación de primer grado.

3. Llevar a cabo un plan o las estrategias seleccionadas:  Implementar la o las estrategias seleccionadas hasta resolver completamente el problema. TOMARSE EL TIEMPO NECESARIO

4. Revisar y comprobar:  Se debe comprobar la respuesta para que esta sea razonable. 

RAZOBAMIENTO Y LÓGICA

Clase #1

Estrategias de Resolución de Problemas 

TÉRMINOS A CONOCER 

• "Una Estrategia es un método o herramienta"
• "Lógica, trata del estudio de los métodos y principios utilizados para distinguir el razonamiento correcto del incorrecto"   

EL RAZONAMIENTO PUEDE SER

↙↘

                     CORRECTO       INCORRECTO

PUEDES VISITAR ESTE LINK PARA CONOCER MÁS SOBRE EL RAZONAMIENTO 

https://www.slideshare.net/mtamoni/razonamientos-4425522

TIPOS DE RAZONAMIENTO

Inductivo: Proceso racional que parte de lo particular y avanza hacia lo general o universal. 

Deductivo: Es el conocimiento que parte de lo general a lo particular.

Analógico: Proceso racional que parte de lo particular y así mismo llega a lo particular o parte de lo general y así mismo llega a lo general.

           GENERAL→GENERAL           

PARTICULAR→PARTICULAR 

MI CONSEJO

PARA PODER DIFERENCIAR LA PREMISA UNIVERSAL DE LA PARTICULAR DEBES LEER DETENIDAMENTE Y PRESTAR ATENCIÓN A LAS DESCRIPCIONES, DE ESTA MANERA APRENDERÁS A IDENTIFICAR CADA MÉTODO UTILIZADO.